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線スペクトル対の数学的基礎

Wikipediaの記事やウェブに転がっているpdfの補足。ググっても出にくいようだから、考えたことを書いておく。

命題


 実係数複素変数多項式$A(z) = z^p + a_{p-1}z^{p-1} + \dotsc + a_1z + a_0$の零点$c_j\;(j=0,\dotsc,p-1)$が全て$|c_j|<1$を満たすとする。このとき2つの有理関数
\[ P(z) = A(z) - z^{-q} A(1/z),\quad Q(z) = A(z) + z^{-q} A(1/z) \quad (q \in \naturalNumbers) \]
の計$2\times(2p+q)$個の零点は全て異なり、かつ単位円周上に存在する。
 さらに$P(z),Q(z)$の零点を$e^{i\alpha_j},e^{i\beta_j}\;(j=0,1,\dotsc,2p+q-1),\quad (0\leq\alpha_j,\beta_j<2\pi,\; \alpha_j<\alpha_{j+1},\; \beta_j < \beta_{j+1})$とすると次が成り立つ。
\[ \alpha_0 < \beta_0 < \alpha_1 < \beta_1 < \dotsb < \alpha_{2p+q-1} < \beta_{2p+q-1} \]

証明


 まず$c_j$が全て実数である場合を考える。$P(z)$の分子の次数は$2p+q$であり、
\[ P(z) = 0 \iff z^{-q}\frac{\prod_{j=1}^p (z^{-1}-c_j)}{\prod_{j=1}^p (z-c_j)} = 1 \]
であるから、異なる$2p+q$個の$\theta\in[0,2\pi)$に対して$z = e^{i\theta}$が上式右辺を満たすことを示せば$P(z)$の零点が全て単位円周上に存在してかつ全て異なることが示される。そこで次の式を考える。
\[ f(\theta) \coloneqq e^{-iq\theta}\frac{\prod_{j=1}^p (e^{-i\theta}-c_j)}{\prod_{j=1}^p (e^{i\theta}-c_j)} \]

2018_10_24_0610.png


$\theta$を$[0,2\pi)$と動かすと、$e^{-iq\theta}$の位相は合計$-2\pi q$変化する。$e^{i\theta}-c_j$の位相すなわち上図の$\phi_j$は$\theta$の狭義単調増加関数であり、$\theta$とともに$[0,2\pi)$と動くから$\frac{\prod_{j=1}^p (e^{-i\theta}-c_j)}{\prod_{j=1}^p (e^{i\theta}-c_j)}$の位相は合計$-4\pi p$変化する。結局$f(\theta)$の位相は合計$-2\pi(2p+q)$変化する。つまり$f(\theta)$は$\theta$の増加に伴い、単位円周上を実軸の正の向きから始めて$2p+q$だけ時計回りに回転する(但し、$\theta$の範囲が$[0,2\pi)$だから最後に実軸にギリギリまで迫るも到達しない)ことになり、$f(\theta)=1$が成立する$\theta\in[0,2\pi)$が$2p+q$通り存在する。これで$P(z)$の零点が全て単位円周上に存在してかつ全て異なることが示された。$Q(z)$についても同様に、$f(\theta)$の代わりに
\[ g(\theta) \coloneqq -e^{-iq\theta}\frac{\prod_{j=1}^p (e^{-i\theta}-c_j)}{\prod_{j=1}^p (e^{i\theta}-c_j)} = e^{-i\pi}e^{-iq\theta}\frac{\prod_{j=1}^p (e^{-i\theta}-c_j)}{\prod_{j=1}^p (e^{i\theta}-c_j)} \]
を考えれば良い。$g(\theta)$の位相は$f(\theta)$より常に$\pi$だけ遅れているため、$f(\theta)$と$g(\theta)$は交互に$1$に等しくなる。そして最初に$1$に等しくなるのは$f(\theta)$である($\theta=0$のとき$f(\theta)=1$)。よって$\alpha_0 < \beta_0 < \alpha_1 < \beta_1 < \dotsb < \alpha_{2p+q-1} < \beta_{2p+q-1}$が成り立つ。
 次に$c_j$が実数とは限らない場合を考える。$A(z)$は実係数多項式だから、虚部が零でない零点は必ず複素共役のペアで存在する。今、1組の複素共役零点$c,c^*$を考えると、上述の$f(\theta)$には次なる因数が存在する。
\[ h(\theta) = \frac{e^{-i\theta}-c}{e^{i\theta}-c} \times \frac{e^{-i\theta}-c^*}{e^{i\theta}-c^*} \]
$c = re^{i\psi}\;(r\geq 0)$と表すと、上式は次のように変形できる。
\[ h(\theta) = \frac{e^{-i\theta}-re^{i\psi}}{e^{i\theta}-re^{i\psi}} \times \frac{e^{-i\theta}-re^{-i\psi}}{e^{i\theta}-re^{-i\psi}} = \frac{e^{-i\theta}-re^{-i\psi}}{e^{i\theta}-re^{i\psi}} \times \frac{e^{-i\theta}-re^{i\psi}}{e^{i\theta}-re^{-i\psi}} = \frac{(e^{i\theta}-re^{i\psi})^*}{e^{i\theta}-re^{i\psi}} \times \frac{(e^{i\theta}-re^{-i\psi})^*}{e^{i\theta}-re^{-i\psi}} \]
よって$h(\theta)$は$\theta$の増加に伴い、単位円周上を時計回りに2回転する(但し実軸の正の向きから出発するとは限らない)。他の複素共役零点についても同じことが成り立つので、全ての零点を考慮すれば、やはり$P(z)$の零点が全て単位円周上に存在してかつ全て異なることが示される。$Q(z)$についても同じことが示され、$g(\theta)$の位相が$f(\theta)$より常に$\pi$だけ遅れることと$f(0)=1$に注意して題意が示される。

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