\[ %汎用 \newcommand{\ctext}[1]{\raise0.2ex\hbox{\textcircled{\scriptsize{#1}}}} %数学 %汎用 \newcommand{\as}{{\quad\textrm{as}\quad}} \newcommand{\st}{{\textrm{ s.t. }}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\left.#1\;\right|\;#2\right\}} \newcommand{\naturalNumbers}{\mathbb{N}} \newcommand{\integers}{\mathbb{Z}} \newcommand{\rationalNumbers}{\mathbb{Q}} \newcommand{\realNumbers}{\mathbb{R}} \newcommand{\complexNumbers}{\mathbb{C}} \newcommand{\field}{\mathbb{F}} \newcommand{\func}[2]{{#1}\left({#2}\right)} \newcommand{\argmax}{\mathop{\textrm{arg~max}}} \newcommand{\argmin}{\mathop{\textrm{arg~min}}} %集合論 \newcommand{\range}[2]{\{#1,\dotsc,#2\}} \renewcommand{\complement}{\mathrm{c}} \newcommand{\ind}[2]{\mathbbm{1}_{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\indII}[1]{\mathbbm{1}\left\{#1\right\}} %数論 \newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\combi}[2]{{_{#1}\mathrm{C}_{#2}}} \newcommand{\perm}[2]{{_{#1}\mathrm{P}_{#2}}} \newcommand{\GaloisField}[1]{\mathrm{GF}\left(#1\right)} %解析学 \newcommand{\sgn}[1]{\operatorname{sgn}\left(#1\right)} \newcommand{\cl}[1]{\operatorname{cl}#1} \newcommand{\Img}[1]{\operatorname{Img}\left(#1\right)} \newcommand{\dom}[1]{\operatorname{dom}\left(#1\right)} \newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|} \newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil} \newcommand{\expo}[1]{\exp\left(#1\right)} \newcommand{\sinc}{\mathop{\textrm{sinc}}} \newcommand{\GammaFunc}[1]{\Gamma\left(#1\right)} %逆三角関数 \newcommand{\asin}[1]{\operatorname{Sin}^{-1}{#1}} \newcommand{\acos}[1]{\operatorname{Cos}^{-1}{#1}} \newcommand{\atan}[1]{\operatorname{{Tan}^{-1}}{#1}} \newcommand{\atanEx}[2]{\atan{\left(#1,#2\right)}} %微分 \newcommand{\deriv}[3]{\frac{\operatorname{d}^{#3}#1}{\operatorname{d}{#2}^{#3}}} \newcommand{\derivLong}[3]{\frac{\operatorname{d}^{#3}}{\operatorname{d}{#2}^{#3}}#1} \newcommand{\partDeriv}[3]{\frac{\operatorname{\partial}^{#3}#1}{\operatorname{\partial}{#2}^{#3}}} \newcommand{\partDerivLong}[3]{\frac{\operatorname{\partial}^{#3}}{\operatorname{\partial}{#2}^{#3}}#1} \newcommand{\partDerivIIHetero}[3]{\frac{\operatorname{\partial}^2#1}{\partial#2\operatorname{\partial}#3}} \newcommand{\partDerivIIHeteroLong}[3]{{\frac{\operatorname{\partial}^2}{\partial#2\operatorname{\partial}#3}#1}} %積分 \newcommand{\integrate}[5]{\int_{#1}^{#2}{#3}{\mathrm{d}^{#4}}#5} \newcommand{\LebInteg}[4]{\int_{#1} {#2} {#3}\left(\mathrm{d}#4\right)} %複素解析 \newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}} \renewcommand{\Re}[1]{{\operatorname{Re}{\left(#1\right)}}} \renewcommand{\Im}[1]{{\operatorname{Im}{\left(#1\right)}}} \newcommand{\Arg}[1]{\operatorname{Arg}{\left({#1}\right)}} \newcommand{\Log}[1]{\operatorname{Log}{#1}} %ラプラス変換 \newcommand{\LPLC}[1]{\operatorname{\mathcal{L}}\left[#1\right]} \newcommand{\ILPLC}[1]{\operatorname{\mathcal{L}}^{-1}\left[#1\right]} %線形代数 \newcommand{\bm}[1]{{\boldsymbol{#1}}} \newcommand{\Span}[1]{\operatorname{span}\left[#1\right]} \newcommand{\Ker}[1]{\operatorname{Ker}\left(#1\right)} \newcommand{\rank}[1]{\operatorname{rank}\left(#1\right)} \newcommand{\inprod}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle} \newcommand{\HadamardProd}{\odot} \newcommand{\HadamardDiv}{\oslash} \newcommand{\matEntry}[3]{#1\left[#2\right]\left[#3\right]} \newcommand{\matPart}[5]{\matEntry{#1}{#2:#3}{#4:#5}} \newcommand{\diag}[1]{\operatorname{diag}\left(#1\right)} \newcommand{\tr}[1]{\operatorname{tr}{\left(#1\right)}} %ベクトル %単位ベクトル \newcommand{\vix}{\bm{i}_x} \newcommand{\viy}{\bm{i}_y} \newcommand{\viz}{\bm{i}_z} %確率論 \newcommand{\PDF}[2]{\operatorname{PDF}\left[#1,\;#2\right]} \newcommand{\Ber}[1]{\operatorname{Ber}\left(#1\right)} \newcommand{\Beta}[2]{\operatorname{Beta}\left(#1,#2\right)} \newcommand{\ExpDist}[1]{\operatorname{ExpDist}\left(#1\right)} \newcommand{\ErlangDist}[2]{\operatorname{ErlangDist}\left(#1,#2\right)} \newcommand{\PoissonDist}[1]{\operatorname{PoissonDist}\left(#1\right)} \newcommand{\GammaDist}[2]{\operatorname{Gamma}\left(#1,#2\right)} \newcommand{\cind}[2]{\ind{#1\left| #2\right.}} %条件付き指示関数 \renewcommand{\Pr}[1]{\operatorname{Pr}\left[#1\right]} \newcommand{\cPr}[2]{\Pr{#1\left| #2\right.}} \newcommand{\E}[2]{\operatorname{E}_{#1}\left[#2\right]} \newcommand{\cE}[3]{\E{#1}{\left.#2\right|#3}} \newcommand{\Var}[2]{\operatorname{Var}_{#1}\left[#2\right]} \newcommand{\Cov}[2]{\operatorname{Cov}\left[#1,#2\right]} \newcommand{\CovMat}[1]{\operatorname{Cov}\left[#1\right]} %グラフ理論 \newcommand{\neighborhood}{\mathcal{N}} %プログラミング \newcommand{\plpl}{\mathrel{++}} \newcommand{\pleq}{\mathrel{+}=} \newcommand{\asteq}{\mathrel{*}=} \]

Extended Euclidean Algorithm

経緯  半年程前から毎月読んでいるInterfaceという雑誌がある。 5月号にアナログフィルタから双一次変換を用いてディジタルフィルタを構成する記事があった。 双一次変換の計算自体は学生時代に制御工学でやったが、その時は近似の背景にある理論まで考えておらず、計算機でグラフを描いて「おぉ似とるわ。大したもんだ。」で終わっていた。 これを機会に調べてみると、$\log z$のPadé...
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位数nの有限射影平面には$n^2+n+1$個の点と直線が存在し、各点はn+1本の直線に含まれる。

Wikipediaでの有限射影平面の頁に証明抜きで書かれていて暫く悩んでしまったので思いついた証明をメモしておく。 $\textit{proof}$ \[ \newcommand{\np}{n_\textrm{p}} \newcommand{\nl}{n_\textrm{l}} \newcommand{\nb}{n_\textrm{b}} \]  念の為、「位数が$n$である」というのは各直線が丁度$n+1$個の点を含むこととして定義されていることを断っておく。 求めたい点の数を$\np$、直線の数を$\nl$とし、各点が$...

素数位数pのガロア体$\mathbb{Z}_p$に乗法群としての位数rの元があればp-1はrの倍数である

「情報理論と符号理論」の第6章の演習問題の略解に乗法群の位数と元の位数の関係が説明無しで現れ、妥当性に気付くまで思いの外考え込んだので、忘れないようにメモしておく。 是式のことで昼寝してしまうほどの己の頭の弱さをが嘆かわしい。 $\textit{proof}$  論題の元を$a$とする。 $r$は$a^r \equiv_p 1$となる最小の自然数であるから、$k\in\naturalNumbers$に対して$a^k \equiv_p 1$となるのは$k$が$r$の倍数である...

GF(p)のn次拡大体

「情報理論と符号理論」の後半、符号理論に差し掛かって有限体が出てきた。全然分かってなかったので調べて自分なりに理解したことをメモ。 構成法 $p$を素数とする。$\mathrm{GF}(p^n)$すなわち「$\mathrm{GF}(p)$の$n$次拡大体」とは、$\mathrm{GF}(p)$を係数体とする$n-1$次以下の多項式の集合である。 これは$n$次既約多項式(例えば$p=2,\;n=3$の場合 $x^3+x+1$ や $x^3+x^2+1$ がある)を法とした余りで加法と乗法を定義す...

Fermatの小定理

ネットワークの本を読んでいたら公開鍵暗号の話でFermatの小定理が出てきたので真面目に復習しておく。 Fermatの小定理 素数$p$と整数$a$が互いに素であるとき、$a^{p-1} \equiv_p 1$である。 $\textit{Proof}$ 「任意の整数$a$に対して$a^p \equiv_p a$」を示し、$a$と$p$が互いに素である場合に限定して両辺を$a$で割れば良いので、これを示す。 $p=2$のときは$a$の偶奇で場合分けすれば簡単に示せる。以下では$p$は3以上...

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