\[ %汎用 \newcommand{\ctext}[1]{\raise0.2ex\hbox{\textcircled{\scriptsize{#1}}}} %数学 %汎用 \newcommand{\as}{{\quad\textrm{as}\quad}} \newcommand{\st}{{\textrm{ s.t. }}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\left.#1\;\right|\;#2\right\}} \newcommand{\naturalNumbers}{\mathbb{N}} \newcommand{\integers}{\mathbb{Z}} \newcommand{\rationalNumbers}{\mathbb{Q}} \newcommand{\realNumbers}{\mathbb{R}} \newcommand{\complexNumbers}{\mathbb{C}} \newcommand{\field}{\mathbb{F}} \newcommand{\func}[2]{{#1}\left({#2}\right)} \newcommand{\argmax}{\mathop{\textrm{arg~max}}} \newcommand{\argmin}{\mathop{\textrm{arg~min}}} %集合論 \newcommand{\range}[2]{\{#1,\dotsc,#2\}} \renewcommand{\complement}{\mathrm{c}} \newcommand{\ind}[2]{\mathbbm{1}_{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\indII}[1]{\mathbbm{1}\left\{#1\right\}} %数論 \newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\combi}[2]{{_{#1}\mathrm{C}_{#2}}} \newcommand{\perm}[2]{{_{#1}\mathrm{P}_{#2}}} \newcommand{\GaloisField}[1]{\mathrm{GF}\left(#1\right)} %解析学 \newcommand{\sgn}[1]{\operatorname{sgn}\left(#1\right)} \newcommand{\cl}[1]{\operatorname{cl}#1} \newcommand{\Img}[1]{\operatorname{Img}\left(#1\right)} \newcommand{\dom}[1]{\operatorname{dom}\left(#1\right)} \newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|} \newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil} \newcommand{\expo}[1]{\exp\left(#1\right)} \newcommand{\sinc}{\mathop{\textrm{sinc}}} \newcommand{\GammaFunc}[1]{\Gamma\left(#1\right)} %逆三角関数 \newcommand{\asin}[1]{\operatorname{Sin}^{-1}{#1}} \newcommand{\acos}[1]{\operatorname{Cos}^{-1}{#1}} \newcommand{\atan}[1]{\operatorname{{Tan}^{-1}}{#1}} \newcommand{\atanEx}[2]{\atan{\left(#1,#2\right)}} %微分 \newcommand{\deriv}[3]{\frac{\operatorname{d}^{#3}#1}{\operatorname{d}{#2}^{#3}}} \newcommand{\derivLong}[3]{\frac{\operatorname{d}^{#3}}{\operatorname{d}{#2}^{#3}}#1} \newcommand{\partDeriv}[3]{\frac{\operatorname{\partial}^{#3}#1}{\operatorname{\partial}{#2}^{#3}}} \newcommand{\partDerivLong}[3]{\frac{\operatorname{\partial}^{#3}}{\operatorname{\partial}{#2}^{#3}}#1} \newcommand{\partDerivIIHetero}[3]{\frac{\operatorname{\partial}^2#1}{\partial#2\operatorname{\partial}#3}} \newcommand{\partDerivIIHeteroLong}[3]{{\frac{\operatorname{\partial}^2}{\partial#2\operatorname{\partial}#3}#1}} %積分 \newcommand{\integrate}[5]{\int_{#1}^{#2}{#3}{\mathrm{d}^{#4}}#5} \newcommand{\LebInteg}[4]{\int_{#1} {#2} {#3}\left(\mathrm{d}#4\right)} %複素解析 \newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}} \renewcommand{\Re}[1]{{\operatorname{Re}{\left(#1\right)}}} \renewcommand{\Im}[1]{{\operatorname{Im}{\left(#1\right)}}} \newcommand{\Arg}[1]{\operatorname{Arg}{\left({#1}\right)}} \newcommand{\Log}[1]{\operatorname{Log}{#1}} %ラプラス変換 \newcommand{\LPLC}[1]{\operatorname{\mathcal{L}}\left[#1\right]} \newcommand{\ILPLC}[1]{\operatorname{\mathcal{L}}^{-1}\left[#1\right]} %線形代数 \newcommand{\bm}[1]{{\boldsymbol{#1}}} \newcommand{\Span}[1]{\operatorname{span}\left[#1\right]} \newcommand{\Ker}[1]{\operatorname{Ker}\left(#1\right)} \newcommand{\rank}[1]{\operatorname{rank}\left(#1\right)} \newcommand{\inprod}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle} \newcommand{\HadamardProd}{\odot} \newcommand{\HadamardDiv}{\oslash} \newcommand{\matEntry}[3]{#1\left[#2\right]\left[#3\right]} \newcommand{\matPart}[5]{\matEntry{#1}{#2:#3}{#4:#5}} \newcommand{\diag}[1]{\operatorname{diag}\left(#1\right)} \newcommand{\tr}[1]{\operatorname{tr}{\left(#1\right)}} %ベクトル %単位ベクトル \newcommand{\vix}{\bm{i}_x} \newcommand{\viy}{\bm{i}_y} \newcommand{\viz}{\bm{i}_z} %確率論 \newcommand{\PDF}[2]{\operatorname{PDF}\left[#1,\;#2\right]} \newcommand{\Ber}[1]{\operatorname{Ber}\left(#1\right)} \newcommand{\Beta}[2]{\operatorname{Beta}\left(#1,#2\right)} \newcommand{\ExpDist}[1]{\operatorname{ExpDist}\left(#1\right)} \newcommand{\ErlangDist}[2]{\operatorname{ErlangDist}\left(#1,#2\right)} \newcommand{\PoissonDist}[1]{\operatorname{PoissonDist}\left(#1\right)} \newcommand{\GammaDist}[2]{\operatorname{Gamma}\left(#1,#2\right)} \newcommand{\cind}[2]{\ind{#1\left| #2\right.}} %条件付き指示関数 \renewcommand{\Pr}[1]{\operatorname{Pr}\left[#1\right]} \newcommand{\cPr}[2]{\Pr{#1\left| #2\right.}} \newcommand{\E}[2]{\operatorname{E}_{#1}\left[#2\right]} \newcommand{\cE}[3]{\E{#1}{\left.#2\right|#3}} \newcommand{\Var}[2]{\operatorname{Var}_{#1}\left[#2\right]} \newcommand{\Cov}[2]{\operatorname{Cov}\left[#1,#2\right]} \newcommand{\CovMat}[1]{\operatorname{Cov}\left[#1\right]} %グラフ理論 \newcommand{\neighborhood}{\mathcal{N}} %プログラミング \newcommand{\plpl}{\mathrel{++}} \newcommand{\pleq}{\mathrel{+}=} \newcommand{\asteq}{\mathrel{*}=} \]

ある超平面から距離dだけ離れた超平面の方程式

理論  $n\in\naturalNumbers,\;\bm{w}\in\realNumbers^n\neq\bm{0},\;c\in\realNumbers$とする。 写像$f:\bm{x}\in\realNumbers^n\mapsto \bm{w}^\top\bm{x} + c \in \realNumbers$が定める$\realNumbers^n$上の超平面$f(\bm{x})=0$ から距離$d>0$だけ離れた2枚の超平面を求める方法を述べる。  新しい写像$g = f/\norm{\bm{w}}_2$を考えると、$\nabla g = \bm{w}/\norm{w}_2,\;\norm{\nabla g}_2 = 1$であるので、超...
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cosやsinの級数の値

久々にDCTの導出をしようと思ったらこういう級数の計算が必要になった。学生時代は複素指数関数を使って適当に誤魔化していたが、頑張って実数の範囲で計算した結果をメモしておく。 $\sum_{k=1}^n \cos kx = -\frac{1}{2} + \frac{\sin(n+1/2)x}{2\sin(x/2)} \quad (x\neq 0)$ $\textit{Proof}$ \begin{align*} (\sin x) \sum_{k=1}^n \cos kx &= \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n (\sin(1+k)x+\sin(1-k)x) \\ &= \frac{1}{2}\left...

変分問題の練習

問題 整数問題bot さんの呟きで見つけたこの問題。東進ハイスクールの数学コンテストらしい。 今月の解析やってるマン的にはめちゃちゃ面白いからオススメ pic.twitter.com/h9GdSLfNKn— 整数問題bot (@seisu_bot) 2018年9月28日 本来なら高校の知識で解かねばならないが、大学で学ぶ変分法を使えばシステマティックに解ける。今更感が半端無いが、折角解いたので一応残しておく。変分法については...

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